2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2

本题导读

本题考查独立性检验中卡方统计量 ${\chi }^2$ 的含义与应用。核心意图是考查学生通过 $2\times 2$ 列联表判断两个分类变量之间关联性强弱的能力。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，这与性别有关联的可能性最大的变量是()

🔍【思路分析】

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1. 明确评价指标：在独立性检验中，卡方观测值 $k=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 越大，说明两个分类变量有关联的可能性越大。
2. 比较简化指标：观察四张表格发现，总样本容量 $n=52$ 相同，且各表格的行计合计（男20，女32）和列计合计（不及格/及格共16和36）完全相同。这意味着分母部分 $(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)$ 也保持一致。
3. 计算分子核心 $|ad-bc|$：由于分母相同，只需要比较分子中 $|ad-bc|$ 的平方（即 $|ad-bc|$ 的绝对值）的大小即可确定关联性强弱。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据独立性检验的卡方公式： ${\chi }^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 由题意可知，四个列联表的分母部分均为 $16\times 36\times 20\times 32$，分子部分共有项 $n=52$。

计算各表中变量与性别的交叉乘积差的绝对值 $|ad-bc|$：

• A. 成绩（表 1）：$|6\times 22-14\times 10|=|132-140|=8$
• B. 视力（表 2）：$|4\times 20-16\times 12|=|80-192|=112$
• C. 智商（表 3）：$|8\times 24-12\times 8|=|192-96|=96$
• D. 阅读量（表 4）：$|14\times 30-6\times 2|=|420-12|=408$

比较可知，$408>112>96>8$，即表 4（阅读量）对应的 ${\chi }^2$ 观测值最大。

故与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：卡方统计量 ${\chi }^2$ 的数值大小直接反映了两个分类变量“有关联”的可信度（可能性）。

2. 核心方法：在比较多个同边际合计（行列总计相同）的列联表时，快速计算主对角线乘积与副对角线乘积的差值 $|ad-bc|$ 是最有效的捷径。

3. 避坑指南：不需要算出具体的 $k$ 值。由于分母完全一样，直接比较分子的差异化部分即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 相关系数 $r$（用于连续型变量）、回归直线方程。

2. 结论推广: 在实际统计中，常用 $P({\chi }^2\ge k_0)$ 来描述关联的显著性，常见的临界值有 $3.841$（95% 把握）和 $6.635$（99% 把握）。

3. 方法推广: 独立性检验不仅能定性判断是否有关系，还能通过 $k$ 值大小定量描述关系的强弱。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)